Easy Solution of  quadratic equation ax² +bx+c=0

                                 ax² +bx+c=0
First we should understand that the equation is not solvable, as the
 unknown terms are two i.e  x and  x^2. so we can't solve the 

equation until the equation can be written as single unknown 

variable like [kx+l]² =m

^{So let us try.}
                                                  ax² +bx+c  =0

                            =>ax² +bx       =-c

                            =>[√ax]² +bx =-c              let A=√ax

Try to write as A²+2AB on RHS without violating  the equation

 let 2AB =bx =>2[√ax]B=bx 

 =>B=bx/[2√ax]

:.B=b/[2√a]

                =>[√ax]² +2√ax [b/2√a]=-c i.e in the form of A²+2AB

                    For getting A²+2AB+B² add B² on both sides

               =>[√ax]² +2√ax [b/2√a]+[b/2√a]²=-c+[b/2√a]²

As A²+2AB+B²=[A+B]²

                   =>[√ax+b/2√a]²=-c+[b/2√a]²     [b/2√a]²=b²/4a

               =>[√ax+b/2√a]²=-c+b²/4a         -c+b²/4a=[b²-4ac]/4a

            

              => √ax+b/2√a= +√[[b²-4ac]/4a]

                 
                    =>√ax             =-b/2√a+√[[b²-4ac]/4a]
           
             =>x              =[-b/2√a+√[[b²-4ac]/4a]]/√a

            =>x              =[-b/2a+√[[b²-4ac]/4a²]

                           :.  x=[-b+√[[b²-4ac]]/2a 

  Solution of  quadratic equation ax² +bx+c=0 is

 x=[-b+√[[b²-4ac]]/2a the values of the x are two i.e 

 x=[-b+√[[b²-4ac]]/2a or  x=[-b-√[[b²-4ac]]/2a
                             

^{Properties of the roots of the quadratic equation} 

1] If   b²-4ac<0, ^{the roots of the quadratic equation are imaginary or complex numbers and unequal.}

2] If   b²-4ac=0, ^{the roots of the quadratic equation are real and      equal.}

3]If   b²-4ac>0, <sup>the roots of the quadratic equation are real and unequal.

Some of the solved examples.</sup>

^{1] Find the roots of}  2x² +5x+6 =0

Assume the equation  2x² +5x+6 =0 as  ax² +bx+c  =0

=>a=2, b=5, c=6

Solution of  quadratic equation ax² +bx+c=0 is

                           x=[-b+√[[b²-4ac]]/2a 

                           x=[-5+√[[5²-4x2x6]]/2x2

                           x=[-5+√[[25-48]]/4

                           x=[-5+√[[-23]]/4

                           x=-5 + √-23
                                 4      4

^{2] Find the roots of}  x² -8x+16 =0

Assume the equation   x² -8x+16 =0 as  ax² +bx+c  =0

=>a=1, b=-8, c=16

Solution of  quadratic equation ax² +bx+c=0 is

                           x=[-b+√[[b²-4ac]]/2a 

                           x=[-[-8]+√[[[-8]²-4x1x16]]/2x1

                           x=[8+√[[64-64]]/2

                           x=[8+√0]/2

                           x= 8
                                2

                           x=4
                                 
       Here the determinant b²-4ac=0, so the roots are real and equal

3]^{Find the roots of}  x²-5x+6 =0

Assume the equation x²-5x+6 =0 as  ax² +bx+c  =0

=>a=1, b=-5, c=6

Solution of  quadratic equation ax² +bx+c=0 is

                           x=[-b+√[[b²-4ac]]/2a 

                           x=[-[-5]+√[[[-5]²-4x1x6]]/2x1

                           x=[5+√[[25-24]]/2

                           x=[5+√1]/2

                            x=[5+1]/2

                           x=[5+1]/2 or [5-1]/2

                           x=6/2 or 4/2

                           x=3 or 2

 Here the determinant b²-4ac>0, so the roots are real and unequal [b²-4ac=1].